\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\) теңдеуі
екі қарапайым тригонометриялық теңдеуге тең:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small.}\)
Барлық тригонометриялық функцияларды бір \(\displaystyle \sin(x){\small}\) аргументке келтірейік.
Ол үшін \(\displaystyle \sin(x)\) қос бұрыштың синусы формуласын қолданамыз:
Нәтижесінде:
\(\displaystyle y=\frac{1}{\sin(x)}{\small}\)
\(\displaystyle \left(\frac{1}{\sin(x)}\right)^2+\frac{1}{\sin(x)}-2=0{\small,}\)
\(\displaystyle y^2+y-2=0{\small}\) аламыз.
Теңдеуді жеңілдетейік.
\(\displaystyle y_1=1\) және \(\displaystyle y_2=-2\)
Теңдеудің дискриминанты:
\(\displaystyle {\rm D}=1^2-4\cdot(-2)=1+8=9\)
және
\(\displaystyle {\rm \sqrt{D}}=\sqrt{9}=3{\small.}\)
Сонда түбірлері тең:
\(\displaystyle y_1=\frac{-1+3}{2}=1{\small,}\)
\(\displaystyle y_2=\frac{-1-3}{2}=-2{\small.}\)
\(\displaystyle y=\frac{1}{\sin(x)}{\small}\) болғандықтан, онда
\(\displaystyle \frac{1}{\sin(x)}=1\) немесе \(\displaystyle \frac{1}{\sin(x)}=-2{\small.}\)
Сонымен, біз екі қарапайым тригонометриялық теңдеуді аламыз:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small.}\)