\(\displaystyle \frac{1}{\sin^2(x)}+\frac{1}{\sin(x)}-2=0\) екі теңдеуге тең:
\(\displaystyle \sin(x)=1\) немесе \(\displaystyle \sin(x)=-\frac{1}{2}{\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=1\) теңдеуінің шешімдері:
\(\displaystyle x_1=\frac{\pi}{2}+2\pi n\ , \, n\in \mathbb{Z} {\small .}\)
\(\displaystyle \sin(x)=1\) аралықтан \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small}\) теңдеудің түбірлерін таңдаңыз
\(\displaystyle x_1=\frac{5\pi}{2}\)
\(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]{\small}\) кесіндісінен түбірлерді таңдайық.
Біз \(\displaystyle n\) бүтін мәндерді іздейміз
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant x_1\leqslant 3\pi{ \small .}\)
Яғни
\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}\leqslant \frac{\pi}{2}+2\pi n\leqslant 3\pi{ \small .}\)
Теңсіздікті \(\displaystyle \pi{\small}\) оң санға бөлейік:
\(\displaystyle \frac{3}{2}\leqslant \frac{1}{2}+2n\leqslant 3{\small .}\)
Әр бөліктен \(\displaystyle \frac{1}{2}{\small }\) алып тастаймыз:
\(\displaystyle \frac{3}{2}- \frac{1}{2}\leqslant 2n\leqslant 3-\frac{1}{2} {\small ,}\)
\(\displaystyle 1\leqslant2n\leqslant \frac{5}{2}{ \small .}\)
\(\displaystyle n{ \small}\) белгілеу үшін теңсіздіктерді \(\displaystyle 2{\small}\) бөлеміз:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\leqslant n \leqslant \frac{5}{4}{ \small .}\)
Бұл аралықтағы жалғыз бүтін сан\(\displaystyle 1,\) яғни \(\displaystyle n=1{\small .}\)
\(\displaystyle n=1\) ауыстыру арқылы \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi n{ \small ,}\) аламыз:
\(\displaystyle \frac{\pi}{2}+2\pi \cdot 1=\frac{5\pi}{2}{\small .}\)
Осылайша, \(\displaystyle \sin(x)=1\) аралықтағы \(\displaystyle \left[ \frac{3\pi}{2};\, 3\pi \right]\) теңдеуінің \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}{\small}\) бір шешімі бар.
Жауабы: \(\displaystyle \frac{5\pi}{2}{\small .}\)