Skip to main content

Теориясы: Интервал әдісіндегі нүктелер мен таңбалар.

Тапсырма

Сан түзуіндегі нүктелер үшін дұрыс белгілер мен белгілерді таңдаңыз теңсіздікті аралық әдісімен шешкенде:

\(\displaystyle \frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)} \le 0{\small .}\)

Шешім

 \(\displaystyle (3-x)(x-1)^3 \) алымының және \(\displaystyle (x-1)(x-3){\small } \) бөлгішінің түбірлерін табайық

\(\displaystyle (3-x)(x-1)^3=0 \) немесе \(\displaystyle (x-1)(x-3)=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle 3-x=0\) немесе \(\displaystyle (x-1)^3=0 \) немесе \(\displaystyle x-1=0\) немесе \(\displaystyle x-3=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x-3=0\) немесе \(\displaystyle x-1=0{ \small ,} \)

\(\displaystyle x=3\) немесе \(\displaystyle x=1{\small .} \)

Теңсіздік белгісі қатаң емес болғандықтан

  • Бөлгіштің жойылмайтын барлық нөлдері толтырылған деп белгіленеді;
  • Бөлгіштің барлық нөлдері әрқашан түсірілген деп белгіленеді.

\(\displaystyle x=1\) және \(\displaystyle x=3\) бөлгішті нөлге айналдыратындықтан, олар түсірілген деп белгіленеді. Біз алып жатырмыз:

 

Бізде үш аралық бар:

\(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) және  \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Функцияның \(\displaystyle f(x)=\frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) аралықтардың әрқайсысында таңбасын анықтаңыз.Ол үшін функцияның мәнін есептеңіз функциясы \(\displaystyle f(x)=\frac{(3-x)(x-1)^3}{(x-1)(x-3)}\) аралықтағы ерікті нүктеде.

 \(\displaystyle (-\infty;1) \) аралықта \(\displaystyle f(x) \) функциясы  теріс

 \(\displaystyle (-\infty;1)\) аралығына \(\displaystyle x=0 \in (-\infty;1){\small }\) \(\displaystyle x=0{ \small } \) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз

\(\displaystyle f(0)=\frac{(3-0)(0-1)^3}{(0-1)(0-3)}<0{\small .}\)

 \(\displaystyle (-\infty;1){\small }\) аралықта минус белгісін жазамыз.

\(\displaystyle (1;3) \) аралықта \(\displaystyle f(x) \) функциясы  теріс

 \(\displaystyle (1;3)\) аралық үшін \(\displaystyle x=2 \in (1;3){\small }\)  \(\displaystyle x=2 { \small }\) нүктесіндегі функция мәнінің таңбасын анықтаймыз.

\(\displaystyle f(2)=\frac{(3-2)(2-1)^3}{(2-1)(2-3)}<0{\small .}\)

 \(\displaystyle (1;3){\small }\) аралықта минус белгісін жазамыз.

\(\displaystyle (3;+\infty) \) аралықта \(\displaystyle f(x) \) функциясы  теріс

\(\displaystyle (3;+\infty)\) аралық үшін \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small }\) таңдаңыз \(\displaystyle x=4 { \small }\) нүктедегі функция мәнінің таңбасын анықтаңыз  

\(\displaystyle f(4)=\frac{(3-4)(4-1)^3}{(4-1)(4-3)}<0{\small .}\)

 \(\displaystyle (3;+\infty){\small }\) аралықта минус белгісін жазамыз.

Осылайша  \(\displaystyle (-\infty;1){ \small ,} \, (1;3)\) және  \(\displaystyle (3;+\infty){\small }\) аралықтарында келесі белгілерді алдық.