\(\displaystyle ABC\) үшбұрышында
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin \angle A}=\frac{CA}{\sin \angle B}=\frac{AB}{\sin \angle C}=2R \small.\)
Дәлелдеме.
Келесіні дәлелдейік
\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)
Егер \(\displaystyle B\) бұрышы тік болса, онда \(\displaystyle {\sin B}=1,\) \(\displaystyle {CA}\) диаметр болып табылады және теңдік орындалады.
Егер \(\displaystyle B\) бұрышы тік болмаса, онда \(\displaystyle AD\) диаметрі мен \(\displaystyle DC\) хордасын жүргіземіз.
\(\displaystyle B\) бұрышы сүйір делік.
Іштей сызылған \(\displaystyle ABC\) және \(\displaystyle ADC\) бұрыштары бір доғаға сүйенеді, яғни тең. Сонда
\(\displaystyle \sin D=\sin B.\)
Диаметрге тірелетін іштей сызылған бұрыш тік болғандықтан \(\displaystyle ADC\) үшбұрышы тікбұрышты болады.
Тікбұрышты \(\displaystyle ADC\) үшбұрышында
\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)
Сонда
\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)
\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)
\(\displaystyle B\) бұрышы доғал болған жағдайды қарастырайық.
\(\displaystyle ABCD\) төртбұрышы шеңберге іштей сызылған.
Іштей сызылған төртбұрыш қасиеті бойынша,
\(\displaystyle \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}.\)
Сонда
\(\displaystyle \angle ADC=180^{\circ}-\angle ABC.\)
Келтіру формуласы бойынша,
\(\displaystyle \sin D=\sin (\angle ADC)=\sin (180^{\circ}-\angle ABC)=\sin (\angle ABC)=\sin B.\)
Диаметрге тірелетін іштей сызылған бұрыш тік болғандықтан \(\displaystyle ADC\) үшбұрышы тікбұрышты болады.
Тікбұрышты \(\displaystyle ADC\) үшбұрышында
\(\displaystyle \sin D=\frac{AC}{AD}.\)
Сонда
\(\displaystyle \sin B=\frac{AC}{2R},\)
\(\displaystyle \frac{AС}{\sin B}=2R.\)
Қалған екі қатынас
\(\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R\) және \(\displaystyle \frac{AB}{\sin C}=2R\)
дәл солай дәлелденеді.