Во сколько раз увеличится площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если все его ребра увеличить в \(\displaystyle 2 \) раза?
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда \(\displaystyle S_п \) равна удвоенной сумме попарных произведений его измерений:
\(\displaystyle S_п=2(ab+bc+ac){ \small ,} \)
где \(\displaystyle a { \small ,}\,b{ \small ,}\,c\) – измерения прямоугольного параллелепипеда (длины трех ребер, имеющих общую вершину).
Пусть \(\displaystyle a{ \small ,} \, b{ \small ,} \,c\) – длины сторон исходного параллелепипеда, \(\displaystyle S_1 \) – его площадь поверхности. Тогда площадь поверхности исходного параллелепипеда равна \(\displaystyle S_1=2(ab+bc+ac){ \small .} \)
|
|
Все ребра параллелепипеда увеличили в два раза. Следовательно, новый параллелепипед имеет ребра длины \(\displaystyle 2a{ \small ,}\, \, 2b\) и \(\displaystyle 2c{ \small ,}\) а его площадь поверхности \(\displaystyle S_2 \) будет равна \(\displaystyle S_2=2(2a \cdot 2b+2b \cdot 2c+2a \cdot 2c){ \small ,} \) \(\displaystyle S_2=8(ab+bc+ac){\small .} \) |
|
Значит, площадь поверхности параллелепипеда увеличится в
\(\displaystyle \frac{ S_2}{ S_1}= \frac{ 8(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)}=4\) раза.
Ответ: \(\displaystyle 4{\small .}\)