Найдите площадь сектора круга.
Из рисунка видно, что радиус данной окружности равен \(\displaystyle 6\) единиц:
Рассмотрим красный треугольник:
Это равнобедренный прямоугольный треугольник. Значит, угол у основания равен \(\displaystyle 45^{\circ}\) или \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) радиан.
Построим дополнительный (зеленый) прямоугольный треугольник на второй стороне угла:
Из рисунка видно, что один из катетов равен \(\displaystyle 3{ \small ,}\) а гипотенуза – это радиус, то есть равна \(\displaystyle 6{\small .}\) Тогда косинус искомого угла
\(\displaystyle \cos( \color{blue}{синий\, угол})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}{\small .}\)
Значит, искомый синий угол равен \(\displaystyle \frac{\pi}{3}{\small .}\)
Далее рассмотрим оба найденных угла:
У них общий искомый угол \(\displaystyle \alpha{\small .}\)
Из картинки следует, что если сложить зеленый угол, который равен \(\displaystyle \frac{\pi}{4}{ \small ,}\) и синий угол, который равен \(\displaystyle \frac{\pi}{3}{ \small ,}\) то их сумма будет равна \(\displaystyle \frac{\pi}{2}+\alpha{\small .}\)
Так как угол \(\displaystyle \alpha\) – это пересечение углов, и он считается дважды, то
\(\displaystyle \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\alpha{ \small ,}\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{2}{ \small ,}\)
\(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{12}{\small .}\)
Формула площади сектора круга радиуса \(\displaystyle R\) с углом \(\displaystyle \alpha\) равна
\(\displaystyle S=\alpha \cdot \frac{R^2}{2}{\small .}\)
Таким образом, площадь искомого сектора равна
\(\displaystyle S=\frac{\pi}{12}\cdot \frac{6^2}{2}=\frac{36\pi}{24}=\frac{3\pi}{2}{\small .}\)
Ответ:\(\displaystyle \frac{3\pi}{2}{\small .}\)