В викторине участвуют \(\displaystyle 5\) команд. Все команды разной силы и в каждой встрече выигрывает та команда, которая сильнее. В первом раунде встречаются две случайно выбранные команды. Ничья невозможна. Проигравшая команда выбывает из викторины, а победившая команда играет со следующим случайно выбранным соперником. Известно, что в первых двух играх победила команда \(\displaystyle А{\small .}\) Какова вероятность того, что эта команда выиграет третий раунд?
Обозначим в порядке возрастания рейтинги команд через \(\displaystyle a_1{ \small ,}\,a_2{ \small ,}\,\ldots{\small ,}\,a_5{\small :}\)
\(\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}{\small . }\)
При встрече двух команд выигрывает та, чей рейтинг выше.
Введём события:
- \(\displaystyle X_{2}\) – команды \(\displaystyle A\) победила в двух раундах;
- \(\displaystyle X_{3}\) – команда \(\displaystyle A\) победила в трёх раундах.
Тогда \(\displaystyle P_{X_2}(X_3)\) – вероятность того, что команда \(\displaystyle A\) победила в третьем раунде при условии, что команда \(\displaystyle A\) победила в первых двух раундах.
Требуется найти \(\displaystyle P_{X_2}(X_3){\small .}\)
По формуле условной вероятности
\(\displaystyle P(X_3)=P(X_2)\cdot P_{X_2}(X_3){\small , }\)
откуда получаем:
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{P(X_3)}{P(X_2)} {\small . }\)
Найдем \(\displaystyle P(X_{2}){\small .}\)
Из условия задачи следует, что сначала взяли две команды, которые начали играть между собой.
Одна из этих команд выиграла две встречи подряд.
Это команда \(\displaystyle A{\small .} \)
Команда \(\displaystyle A \) может иметь рейтинг от первого до пятого.
Значит, возможны следующие гипотезы:
- \(\displaystyle B_1\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{1}{\small ;}\)
- \(\displaystyle B_2\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{2}{\small ;}\)
- \(\displaystyle \ldots \)
- \(\displaystyle B_5\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{5}{\small .}\)
Тогда по формуле полной вероятности
\(\displaystyle P(X_2)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_2) +P(B_2) \cdot P_{B_2}(X_2)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_2){\small .}\)
1. Рейтинг команды выбирается случайным образом из пяти возможных вариантов. Поэтому
\(\displaystyle P(B_1)=P(B_2)= \ldots =P(B_5)= \frac {1}{5}{\small .}\)
2. Для победы команды \(\displaystyle A\) в двух раундах подряд необходимо, чтобы две проигравшие команды имели рейтинг ниже, чем у неё.
Значит, для команды с рейтингом ниже, чем \(\displaystyle a_{3}{\small , }\) вероятность выиграть три раунда равна нулю:
\(\displaystyle P_{B_1}(X_2)= P_{B_2}(X_2)=0{\small .}\)
3. Найдем \(\displaystyle P_{B_3}(X_2)\) – вероятность выиграть два раунда подряд для команды \(\displaystyle A \) с рейтингом \(\displaystyle a_3{\small .} \)
\(\displaystyle P_{B_3}(X_2)=P(\text{\scriptsize"выиграть в первом раунде"})\cdot P(\text{\scriptsize"победа во втором раунде"}){\small .}\)
Посчитаем вероятности в формуле, оформив вычисления в виде таблицы:
| Число соперников слабее \(\displaystyle A\) | Число всех соперников | Результат | |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа в первом раунде"}) \) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{ 2}{ 4 } \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа во втором раунде"}) \) | \(\displaystyle 1 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{1}{ 3} \) |
| \(\displaystyle P_{B_3}(X_2)\) | \(\displaystyle \frac{2}{ 4 }\cdot \frac{ 1}{ 3 }\) | ||
4. Найдем \(\displaystyle P_{B_4}(X_2)\) – вероятность выиграть два раунда подряд для команды \(\displaystyle A \) с рейтингом \(\displaystyle a_4{\small .} \)
Рассуждая аналогично вычислениям для \(\displaystyle P_{B_4}(X_2){\small ,}\) получаем:
Вновь оформим вычисления в виде таблицы:
| Число соперников слабее \(\displaystyle A\) | Число всех соперников | Результат | |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа в первом раунде"}) \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{ 3}{ 4 } \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа во втором раунде"}) \) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle \frac{ 2}{ 3} \) |
| \(\displaystyle P_{B_4}(X_2)\) | \(\displaystyle \frac{3}{ 4 }\cdot \frac{ 2}{ 3 }\) | ||
5. \(\displaystyle P_{B_5}(X_2)=1\) – вероятность выиграть два раунда подряд для команды \(\displaystyle A \) с рейтингом \(\displaystyle a_5{\small ,} \) так как эта команда имеет максимальный рейтинг.
Подставляя найденные значения в формулу полной вероятности
\(\displaystyle P(X_2)=P(B_1) \cdot P_{X_2}(B_1) +P(B_2) \cdot P_{X_2}(B_2)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_2){\small ,}\)
получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}P(X_2)&=\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot \frac{2}{12} +\frac {1}{5} \cdot \frac{6}{12} \ +\frac {1}{5} \cdot1 =\\[10px]&=\frac {1}{5} \cdot \left(\frac{2}{12} +\frac{6}{12}+1 \right) =\frac {20}{5\cdot 12}=\frac {1}{3}{\small .}\end{aligned}\)
Найдём \(\displaystyle P(X_{3})\) – вероятность победы команды \(\displaystyle A\) в трех раундах.
Сначала взяли две команды, которые начали играть между собой.
Одна из этих команд \(\displaystyle (A) \) выиграла три встречи подряд.
Команда \(\displaystyle A \) может иметь рейтинг от первого до пятого.
Значит, возможны следующие гипотезы:
- \(\displaystyle B_1\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{1}{\small ;}\)
- \(\displaystyle B_2\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{2}{\small ;}\)
- \(\displaystyle \ldots \)
- \(\displaystyle B_5\) – рейтинг команды \(\displaystyle A\) равен \(\displaystyle a_{5}{\small .}\)
Тогда по формуле полной вероятности
\(\displaystyle P(X_3)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_3) +P(B_2) \cdot P_{B_2}(X_3)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_3){\small .}\)
1. Рейтинг команды выбирается случайным образом из пяти возможных вариантов. Поэтому
\(\displaystyle P(B_1)=P(B_2)= \ldots =P(B_5)= \frac {1}{5}{\small .}\)
2. Для победы команды \(\displaystyle A\) в четырёх раундах необходимо, чтобы три проигравшие команды имели рейтинг ниже, чем у неё.
Значит, для команды с рейтингом ниже, чем \(\displaystyle a_{4}{\small , }\) вероятность выиграть три раунда равна нулю:
\(\displaystyle P_{B_1}(X_3)= P_{B_2}(X_3)=P_{B_3}(X_3)=0{\small .}\)
3. Найдём \(\displaystyle P_{B_4}(X_3)\) – вероятность выиграть \(\displaystyle 3\) раунда подряд для команды с рейтингом \(\displaystyle a_{4}{\small .}\)
Оформим вычисления в виде таблицы:
| Число соперников слабее \(\displaystyle A\) | Число всех соперников | Результат | |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа в первом раунде"}) \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle 4 \) | \(\displaystyle \frac{ 3}{ 4 } \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа во втором раунде"}) \) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle 3 \) | \(\displaystyle \frac{ 2}{ 3} \) |
| \(\displaystyle P(\text{\scriptsize"победа в третьем раунде"}) \) | \(\displaystyle 1\) | \(\displaystyle 2 \) | \(\displaystyle \frac{ 1}{ 2} \) |
| \(\displaystyle P_{B_4}(X_3)\) | \(\displaystyle \frac{ 3}{ 4 }\cdot \frac{ 2}{ 3 }\cdot \frac{ 1}{ 2 }= \frac{ 1}{ 4 }\) | ||
4. Найдём \(\displaystyle P_{B_5}(X_3)\) – вероятность выиграть \(\displaystyle 3\) раунда для команды с рейтингом \(\displaystyle a_{5}{\small .}\)
Команда с рейтингом \(\displaystyle a_{5}\) является сильнейшей, поэтому выиграет \(\displaystyle 3\) игры с вероятностью \(\displaystyle 1{\small .}\)
Подставляя найденные вероятности в формулу
\(\displaystyle P(X_3)=P(B_1) \cdot P_{B_1}(X_3) +P(B_3) \cdot P_{B_2}(X_3)+\ldots+P(B_5) \cdot P_{B_5}(X_3){\small ,}\)
получаем:
\(\displaystyle \begin{aligned}P(X_3)&=\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot0+\frac {1}{5} \cdot 0+\frac {1}{5} \cdot \frac{1}{4} \ +\frac {1}{5} \cdot1 =\\[10px]&=\frac {1}{5} \cdot \left(\frac{1}{4}+1 \right) =\frac {1}{4}{\small .}\end{aligned}\)
Подставляя найденные значения \(\displaystyle P(X_{2})\) и \(\displaystyle P(X_{3})\) в формулу
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{P(X_3)}{P(X_2)} {\small , }\)
получаем:
\(\displaystyle P_{X_2}(X_3)= \frac{\phantom{1}\dfrac {1}{4}\phantom{1}}{\dfrac {1}{3}}=\frac {1}{4} \cdot \frac {3}{1}=\frac {3}{4} =0{,}75{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 0{,}75{\small .}\)