Алматы қаласындағы бір мейрамханада әкімші қонақтарға "Шеш-беш" ойынын ойнауды ұсынады: қонақ бір уақытта екі ойын сүйегін лақтырады. Егер ол \(\displaystyle 5\) және \(\displaystyle 6\) ұпайлардың комбинациясын екі әрекеттің кем дегенде біреуінде лақтырып тастаса, ол мейрамханадан комплимент алады: бір кесе кофе немесе тегін десерт. Комплимент алу ықтималдығы қандай? Нәтижені жүзден біріне дейін дөңгелектеңіз.
Оқиғаларды енгізейік:
- \(\displaystyle A \) – \(\displaystyle 5\) және \(\displaystyle 6\) комбинациясы бірінші әрекетте түсті,
- \(\displaystyle B\) – \(\displaystyle 5\) және \(\displaystyle 6\) комбинациясы екінші әрекетте түсті,
- \(\displaystyle C\) – қонақ мейрамханадан комплимент алды.
Онда \(\displaystyle C\) оқиғасы \(\displaystyle A \) немесе \(\displaystyle B\) оқиғаларының кем дегенде біреуі орын алса орын алады:
\(\displaystyle C=A+B{\small .}\)
Оқиғалардың ықтималдығын табыңыз.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасын қолданайық.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы
\(\displaystyle P(A)=\frac{\text{қолайлы элементар оқиғалардың саны}}{\text{барлық элементар оқиғалардың саны}}\)
Барлық қарапайым оқиғалардың санын табыңыз.
\(\displaystyle 6\) керемет нұсқалардың әрқайсысы бірінші лақтырудағы ұпайлардың саны екінші лақтырудағы \(\displaystyle 6\) нұсқаға сәйкес келеді.
Сондықтан екі лақтыру кезінде нұсқалардың жалпы саны (ұпайлар санының комбинациясы) келесідей болады
\(\displaystyle 6\cdot6=36{\small .}\)
Біз олардың ішінен \(\displaystyle A\) оқиғасына қолайлы нұсқаларды таңдаймыз - \(\displaystyle 5\) және \(\displaystyle 6\) комбинациясы түседі .
Оларды жазып аламыз:
- \(\displaystyle \color{blue}{5}\) және \(\displaystyle \color{Magenta}6{\small ;}\)
- \(\displaystyle \color{blue}6\) және \(\displaystyle \color{Magenta}5{\small .}\)
Біз \(\displaystyle 2\) нұсқаны алдық.
Сонымен, барлық қарапайым оқиғалардың саны \(\displaystyle \color{green}{36}{\small }\) тең.
\(\displaystyle A\) оқиғаға қолайлы қарапайым оқиғалардың саны \(\displaystyle \color{red}{2}\) тең.
Классикалық ықтималдық формуласы бойынша \(\displaystyle A\) оқиғаның басталу ықтималдығын \(\displaystyle P(A)\) табамыз.
\(\displaystyle P(A)=\frac{\color{red}{2}}{\color{green}{36}}=\frac{1}{18}\).
\(\displaystyle B\) оқиғасының ықтималдығын дәл осылай табамыз:
\(\displaystyle P(B)=P(A)=\frac{\color{red}{2}}{\color{green}{36}}=\frac{1}{18}\).
\(\displaystyle C{\small}\) оқиғасының ықтималдығын табамыз
\(\displaystyle P(C)=P(A+B){\small .}\)
Формуланы пайдаланамыз
Бірлескен оқиғалар қосындысының ықтималдығы
\(\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A \cdot B){\small .}\)
Демек,
\(\displaystyle P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A \cdot B){\small ,}\)
мұндағы \(\displaystyle P(A \cdot B)\) – \(\displaystyle A \) және \(\displaystyle B{\small}\) оқиғалардың бір уақытта пайда болу ықтималдығы.
\(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) оқиғалары тәуелсіз, яғни оқиғалардың біреуінің басталуы екіншісінің пайда болу ықтималдығына әсер етпейді. Сондықтан біз ережені қолданамыз:
Ықтималдықтар көбейтіндісінің формуласы
Егер \(\displaystyle A\) және \(\displaystyle B\) тәуелсіз болса, яғни оқиғалардың біреуінің басталуы басқа оқиғаның болу ықтималдығына әсер етпесе, онда олардың бір мезгілде пайда болу ықтималдығы
\(\displaystyle P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B){\small .}\)
Келесіні аламыз:
\(\displaystyle P(A \cdot B)=P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{18} \cdot \frac{1}{18}=\frac{1}{324}{\small .}\)
онда
\(\displaystyle \begin{aligned}P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A \cdot B)&=\frac{1}{18}+\frac{1}{18}-\frac{1}{324}=\\[10px]&=\frac{18+18-1}{324}=\frac{35}{324}\approx0{,}11{\small .}\end{aligned}\)
Жауабы: \(\displaystyle 0{,}11{\small .}\)