Объем куба равен \(\displaystyle 24\sqrt3{\small .}\) Найдите его диагональ \(\displaystyle d {\small .}\)
Пусть \(\displaystyle ABCDA_1B_1C_1D_1\) – куб, объем которого равен \(\displaystyle 24\sqrt3{\small .}\)
Требуется найти длину диагонали куба \(\displaystyle d=A_1C{\small .}\)
Пусть \(\displaystyle a \) – длина ребра куба.
Чтобы найти \(\displaystyle a { \small ,}\) воспользуемся формулой для вычисления объема куба.
Для вычисления \(\displaystyle A_1C\) построим треугольник \(\displaystyle A_1AC{\small , }\) проведя диагональ основания \(\displaystyle AC{\small :}\)
Ребро куба \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно плоскости основания, в которой лежит \(\displaystyle AC{\small . }\)
По определению
Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перепендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
получаем, что \(\displaystyle AA_1\) перпендикулярно \(\displaystyle AC\) и треугольник \(\displaystyle A_1AC \) прямоугольный:
При этом в треугольнике \(\displaystyle A_1AC \) известно \(\displaystyle A_1A=2\sqrt3{\small .} \)
Для вычисления \(\displaystyle A_1C\) найдем \(\displaystyle AC{\small .} \)
Основание куба \(\displaystyle ABCD\) – квадрат.
Найдем длину \(\displaystyle AC\) из прямоугольного равнобедренного треугольника \(\displaystyle ABC\) с катетами длины \(\displaystyle 2\sqrt3{\small .}\)
Вернемся к прямоугольному треугольнику \(\displaystyle A_1AC{\small .}\) Найдем его гипотенузу \(\displaystyle A_1C=d\) по теореме Пифагора \(\displaystyle A_1C^{\,2}=A_1A^{\,2}+AC^{\,2}{\small ,}\) \(\displaystyle d^{\,2}=\left(2\sqrt3\right)^2+\left(2\sqrt6\right)^2{\small ,}\) \(\displaystyle d^{\,2}=12+24{\small ,}\) \(\displaystyle d^{\,2}=36{\small .}\) Так как \(\displaystyle d\) – длина отрезка, то \(\displaystyle d\) положительно, поэтому \(\displaystyle d=6{\small .}\) |  |
Значит, диагональ куба равна \(\displaystyle 6{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 6{\small .}\)