Найдите радиус окружности, в которой дугу в \(\displaystyle 120^\circ \) стягивает хорда длины \(\displaystyle 2\sqrt{3} \small.\)
 | Пусть \(\displaystyle O\) – центр окружности, \(\displaystyle \\ OA=OC\) – ее радиусы, \(\displaystyle \\ AC=2\sqrt{3},\) \(\displaystyle \overset{\smile}{AC}=120^\circ .\) Тогда \(\displaystyle \angle AOC=120^\circ .\)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OAC \small.\) Он равнобедренный, так как \(\displaystyle OA=OC \small.\) |
По свойству равнобедренного треугольника углы при основании \(\displaystyle AC\) равны.
Поскольку сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,} \) то
\(\displaystyle \angle OAC =\angle OCA = \frac{180^{\circ}-\angle AOC }{2}=\frac{180^{\circ}-120^{\circ}}{2}=30^{\circ} \small.\)
Проведем высоту \(\displaystyle OH\) треугольника \(\displaystyle OAC \small.\)
Так как высота \(\displaystyle OH\) равнобедренного треугольника \(\displaystyle AOC \small,\) опущенная на основание, является и медианой, то
\(\displaystyle CH=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}=\sqrt{3} \small.\)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle OCH \small.\)
В треугольнике \(\displaystyle OCH \small:\)
Пусть \(\displaystyle OH=x \small.\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(\displaystyle 30^{\circ}\small,\) равен половине гипотенузы. Значит, \(\displaystyle OC=2x \small.\) |  |
По теореме Пифагора
\(\displaystyle OC^2=OH^2+CH^2\small.\)
Тогда
\(\displaystyle (2x)^2=x^2+(\sqrt{3})^2 \small,\)
\(\displaystyle 4x^2=x^2+3 \small,\)
\(\displaystyle 3x^2=3 \small,\)
\(\displaystyle x^2=1 \small.\)
Поскольку длина отрезка положительна, то \(\displaystyle x=1\small ,\)
\(\displaystyle OC=2x=2 \small.\)
Ответ: \(\displaystyle 2 {\small .}\)