Теория: 03 Площадь

\(\displaystyle a)\) По условию задачи выполним чертёж.

\(\displaystyle ABCD\) – трапеция; точка \(\displaystyle E\) – середина стороны \(\displaystyle AB{\small,}\) то есть \(\displaystyle AE=BE{\small.}\)   Требуется доказать,  что площадь треугольника \(\displaystyle ECD\) равна половине площади трапеции.

Правило

Свойство площади

Если многоугольник состоит из нескольких многоугольников (которые не перекрывают друг друга), то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

\(\displaystyle S=S_1+S_2+S_3+S_4\)

получаем

Так как трапеция состоит из трёх треугольников, то площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников: \(\displaystyle S_{ABCD}=S_{\triangle ECD}+S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}{\small.}\) Тогда \(\displaystyle S_{\triangle ECD}=S_{ABCD}-(S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}){\small.}\)

Выразим сумму площадей треугольников \(\displaystyle BEC\) и \(\displaystyle AED\) через площадь трапеции \(\displaystyle ABCD {\small.}\)

Выполним дополнительное построение.

Через точку \(\displaystyle E\) построим перпендикуляр к основаниям трапеции. Обозначим буквами \(\displaystyle P\) и \(\displaystyle H\) точки пересечения перпендикуляра с прямыми \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) соответственно. Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\displaystyle BEP\) и \(\displaystyle AEH{\small:}\) \(\displaystyle BE=AE \) (по условию); \(\displaystyle \angle BEP=\angle AEH \)(вертикальные углы). Следовательно,  \(\displaystyle \triangle BEP=\triangle AEH\) по гипотенузе и острому углу.

В равных треугольниках соответственные стороны равны. Значит,

\(\displaystyle EP=EH=h {\small.}\)

Правило

Формула площади треугольника

Площадь \(\displaystyle S\) треугольника равна половине произведения стороны \(\displaystyle a\) на высоту \(\displaystyle h{\small,}\) проведённую к этой стороне:

\(\displaystyle S=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h {\small,}\) где \(\displaystyle a\) – сторона треугольника, \(\displaystyle h\) – высота треугольника.

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}=\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h {\small;}\\ \) \(\displaystyle S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \cdot AD\cdot h {\small;}\)

Тогда

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h +\frac{1}{2} \cdot AD\cdot h{\small;}\\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \cdot h \cdot (BC+AD){\small;}\\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac{ (BC+AD)}{2} \cdot h{\small.}\)

Правило

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

\(\displaystyle S=\frac{\color{blue}{a}+\color{blue}{b}}{2}\cdot \color{red}{h}\)

В нашем случае 

\(\displaystyle PH\) – высота трапеции, \(\displaystyle BC\) и \(\displaystyle AD\) – основания трапеции. Значит,

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2} \cdot PH {\small.}\)

Так как \(\displaystyle PH=EP+EH=h+h=2 \cdot h {\small,}\) то

\(\displaystyle S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2} \cdot 2 \cdot h {\small.}\)

Значит, 

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} {\small.}\)

Тогда

\(\displaystyle S_{\triangle ECD}=S_{ABCD}-(S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}){\small;}\\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle ECD}=S_{ABCD}-\frac{1}{2} \cdot S_{ABCD}{\small.}\\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle ECD}=\frac{1}{2} \cdot S_{ABCD}{\small.}\\ \)

То есть площадь треугольника \(\displaystyle ECD\) равна половине площади трапеции.

Утверждение доказано.

\(\displaystyle б) \) По условию задачи \(\displaystyle S_{ABCD}=54 {\small.}\)

Требуется найти сумму площадей треугольников \(\displaystyle BEC\) и \(\displaystyle AED {\small.}\)

В пункте \(\displaystyle a)\) получили, что сумма площадей треугольников \(\displaystyle BEC\) и \(\displaystyle AED \) равна половине площади трапеции \(\displaystyle ABCD{\small.}\)

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} {\small;}\\ \)

\(\displaystyle S_{\triangle BEC}+S_{\triangle AED}=\frac{1}{2} \cdot 54=27 {\small.}\)

Ответ: \(\displaystyle б) \ 27{\small.} \)