Skip to main content

Теория: Разложение на множители, метод группировки (произведение двучленов)

Задание

Разложите на множители:
 

\(\displaystyle 132x^{\,9}z^{\,2}-55x^{\,3}-36x^{\,6}z^{\,2}+15=\big(\)
11x^3-3
\(\displaystyle \big)\big(\)
12x^6z^2-5
\(\displaystyle \big)\)
Решение

Сначала выберем произвольную переменную, которая встречается в точности в половине слагаемых (то есть в нашем случае – дважды). В исходном выражении лишь одна переменная встречается дважды, это переменная \(\displaystyle z {\small .}\) Сгруппируем все члены с данной переменной в одни скобки, а остальные – в другие:

\(\displaystyle 132x^{\,9}\color{red}{z^{\,2}}-55x^{\,3}-36x^{\,6}\color{red}{z^{\,2}}+15=(132x^{\,9}\color{red}{z^{\,2}}-36x^{\,6}\color{red}{z^{\,2}})+(-55x^{\,3}+15) {\small .}\)

Общий множитель для \(\displaystyle (132x^{\,9}z^{\,2}-36x^{\,6}z^{\,2})\) равен \(\displaystyle 12x^{\,6}z^{\,2} {\small .}\)

Нахождение общего множителя для выражения: \(\displaystyle 132x^{\,9}z^{\,2}-36x^{\,6}z^{\,2}\)

Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle 132x^{\,9}z^{\,2}-36x^{\,6}z^{\,2}=12x^{\,6}z^{\,2}\,(11x^{\,3}-3) {\small .}\)

Общий множитель для \(\displaystyle (-55x^{\,3}+15)\) равен \(\displaystyle 5 {\small .}\)

Нахождение общего множителя для выражения: \(\displaystyle -55x^{\,3}+15\)

Вынося его за скобки, имеем:

\(\displaystyle -55x^{\,3}+15=5\,(-11x^{\,3}+3){\small .}\)

Возвращаясь к исходному выражению, получаем:

\(\displaystyle (132x^{\,9}z^{\,2}-36x^{\,6}z^{\,2})+(-55x^{\,3}+15)=12x^{\,6}z^{\,2}\,(11x^{\,3}-3)+5\,(-11x^{\,3}+3) {\small .}\)

Заметим, что множители \(\displaystyle (11x^{\,3}-3)\) и \(\displaystyle (-11x^{\,3}+3)\) отличаются только знаком, то есть

\(\displaystyle (-11x^{\,3}+3)=-(11x^{\,3}-3) {\small .}\)

Поэтому заменим множитель \(\displaystyle (-11x^{\,3}+3)\) на \(\displaystyle -(11x^{\,3}-3) {\small :}\)

\(\displaystyle \begin{array}{l} 12x^{\,6}z^{\,2}\,(11x^{\,3}-3)+5\,\color{red}{(-11x^{\,3}+3)}= \\[10px] \kern{6em} =12x^{\,6}z^{\,2}\,(11x^{\,3}-3)+5\,\color{red}{\Big(-(11x^{\,3}-3)\Big)}= \\[10px] \kern{12em} =12x^{\,6}z^{\,2}\,(11x^{\,3}-3)-5\,(11x^{\,3}-3) {\small .} \end{array}\)

Теперь заметим, что в обеих частях выражения есть общий множитель \(\displaystyle (11x^{\,3}-3) {\small .}\) Значит, его также можно вынести за скобки:

\(\displaystyle 12x^{\,6}z^{\,2}\,\color{blue}{(11x^{\,3}-3)}-5\,\color{blue}{(11x^{\,3}-3)}=\color{blue}{(11x^{\,3}-3)} (12x^{\,6}z^{\,2}-5) {\small .}\)

Таким образом,

\(\displaystyle 132x^{\,9}z^{\,2}-55x^{\,3}-36x^{\,6}z^{\,2}+15=({\bf 11}{\pmb x}^{\,{\bf 3}}-{\bf 3})({\bf 12}{\pmb x}^{\,{\bf 6}}{\pmb z}^{\,{\bf 2}}-{\bf 5}) {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle (11x^{\,3}-3) (12x^{\,6}z^{\,2}-5) {\small .}\)