Көбейткіштерге жіктеңіз:
\(\displaystyle 15xy+6x^{\,2}-20y^{\,2}-8yx=\big(\)\(\displaystyle \big)\big(\)\(\displaystyle \big)\)
Берілген өрнектен әр параметр өрнектің үш мүшесінде кездесетінін көруге болады, сондықтан біз мүшелердің жартысында, яғни екі рет кездесетін параметрді таңдай алмаймыз. Бұл жағдайда кез келген параметрді таңдаймыз, мысалы, x:
\(\displaystyle 15\color{red}{x}y+6\color{red}{x}^{\,2}-20y^{\,2}-8y\color{red}{x}.\)
Ең үлкен дәрежеде \(\displaystyle x\) параметрі (бұл \(\displaystyle 6x^{\,2}\)) және берілген параметрді қамтитын кез келген басқа мүше (мысалы, \(\displaystyle 15xy\)) кіретін мүшелерді бір жақшаға, ал барлық басқа мүшелерді екіншісіне топтастырамыз:
\(\displaystyle (15xy+6x^{\,2})+(-20y^{\,2}-8yx\,).\)
\(\displaystyle (15xy+6x^{\,2})\) бірінші жақшадағы өрнектің ортақ көбейткішін табамыз .
- \(\displaystyle 15\) және \(\displaystyle 6\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 3 тең.
- \(\displaystyle xy\) және \(\displaystyle x^{\,2}\) өрнектеріндегі жалпы параметрлер – бұл \(\displaystyle x\) параметрі.
Яғни, \(\displaystyle 15xy+6x^{\,2}\) үшін ортақ көбейткіш 3x тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, келесіге ие боламыз:
\(\displaystyle 15xy+6x^{\,2}=3x\,(5y+2x\,).\)
Әрі қарай \(\displaystyle (-20y^{\,2}-8yx\,)\) екінші жақшадағы өрнектің ортақ көбейткішін табамыз.
- \(\displaystyle 20\) және \(\displaystyle 8\) сандық коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші 4 тең.
- \(\displaystyle y^{\,2}\) және \(\displaystyle yx\) өрнектеріндегі жалпы параметрлер – бұл \(\displaystyle y\) параметрі.
Яғни, \(\displaystyle -20y^{\,2}-8yx\) үшін ортақ көбейткіш 4y тең. Оны жақшаның сыртына шығара отырып, келесіге ие боламыз:
\(\displaystyle (-20y^{\,2}-8yx\,)=4y\,(-5y-2x\,).\)
Бастапқы өрнекке орала отырып, келесіні аламыз:
\(\displaystyle (15xy+6x^{\,2})+(-20y^{\,2}-8yx\,)= 3x\,(5y+2x\,)+4y\,(-5y-2x\,).\)
\(\displaystyle (5y+2x\,)\) және \(\displaystyle (-5y-2x\,)\) көбейткіштері тек таңбамен ерекшеленетінін ескерейік, яғни
\(\displaystyle (-5y-2x\,)=-(5y+2x\,).\)
Сондықтан \(\displaystyle (-5y-2x\,)\) көбейткішін \(\displaystyle -(5y+2x\,)\) алмастырамыз:
\(\displaystyle \begin{array}{l}3x\,(5y+2x\,)+4y\,\color{red}{(-5y-2x\,)}= \\[10px]\kern{5em} =3x\,(5y+2x\,)+4y\,\color{red}{\Big(-(5y+2x\,)\Big)}= \\[10px]\kern{10em} =3x\,(5y+2x\,)-4y\,(5y+2x\,).\end{array}\)
Енді өрнектің екі бөлігінде бірдей \(\displaystyle (5y+2x\,)\) көбейткіш бар екенін көреміз. Яғни, оны да жақшаның сыртына шығаруға болады:
\(\displaystyle 3x\,\color{blue}{(5y+2x\,)}-4y\,\color{blue}{(5y+2x\,)}=\color{blue}{(5y+2x\,)} (3x-4y\,).\)
Осылайша,
\(\displaystyle 15xy+6x^{\,2}-20y^{\,2}-8yx=(5y+2x\,) (3x-4y\,).\)
Жауабы: \(\displaystyle (5y+2x\,) (3x-4y\,).\)