Skip to main content

Теориясы: 09 Жартылай интервалдағы модулі бар элементар теңсіздіктер

Тапсырма

Модульдің анықтамасына сүйене отырып, теңсіздікке тең келетін теңсіздік жүйелерінің жиынтығын құрыңыз

\(\displaystyle |x| \ge 3{\small .}\)

\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle -x \ge 3\)
немесе
\(\displaystyle \left\{ \vphantom{\begin{aligned} 1\\[5px] 1 \end{aligned}} \right. \)
\(\displaystyle x\),
\(\displaystyle x \ge 3\)

 

Шешім

Определение

Модуль

\(\displaystyle x\) айнымалысы үшін \(\displaystyle |x|{ \small }\) деп белгіленген \(\displaystyle x{ \small }\) модуль функциясы келесідей анықталады

\(\displaystyle |x|=\left\{\begin{aligned}x, & \text{ егер } x\ge 0{ \small ,}\\-x,& \text{ егер } x< 0{\small .}\end{aligned}\right.\)

Осы анықтамаға сәйкес екі жағдайды аламыз:

  • \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=x{ \small ,}\)
  • \(\displaystyle x<0{ \small ,}\) сонда \(\displaystyle |x|=-x{\small .}\)

Яғни,

  • егер \(\displaystyle x\ge 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle x \ge 3{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{\begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)
  • егер\(\displaystyle x< 0{ \small ,}\) онда \(\displaystyle -x \ge 3{\small .}\) Яғни
    \(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x< 0{ \small ,}\\ -x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)

Осылайша, \(\displaystyle |x| \ge 3\) теңсіздігі екі жүйенің жиынтығына тең:

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \ge 3 \end{aligned} \right.\)немесе\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x<0 { \small ,}\\ -x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)

Жүйелерді орындарымен алмастыра отырып, іздеген жауабымызды аламыз:  

\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x<0 { \small ,}\\ -x \ge 3 \end{aligned} \right.\)немесе\(\displaystyle \left\{ \begin{aligned} x\ge 0{ \small ,}\\ x \ge 3{\small .} \end{aligned} \right.\)