Уравнение
\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)
равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)
Упростим уравнение.
Приведем степени в левой и правой части к одному основанию.
Приведем левую часть к степени с основанием \(\displaystyle 5{\small.}\)
Так как \(\displaystyle 25=5^2{\small,}\) то
\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=\left(\left(5^2\right)^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}{\small.}\)
Теперь дважды воспользуемся свойством степеней \(\displaystyle (a^m)^n=a^{m\cdot n}{\small:}\)
\(\displaystyle \left(\left(5^2\right)^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=\left(5^{2\cdot\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{2\cos(x)\cdot\sin(x)}{\small.}\)
Получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{\left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small,}\)
\(\displaystyle \color{blue}{5^{2\cos(x)\cdot\sin(x)}}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)
Две степени с одинаковыми основаниями равны, значит, равны показатели степеней:
\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)={\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)
Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(\displaystyle \sin(x)\) за скобку:
\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)={\sqrt{2}\sin(x)}{\small,}\)
\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)-{\sqrt{2}\sin(x)}=0{\small,}\)
\(\displaystyle \sin(x)(2\cos(x)-{\sqrt{2}})=0{\small.}\)
Произведение двух множителей равно нулю, значит, один из них равен нулю:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle 2\cos(x)-{\sqrt{2}}=0{\small.}\)
Преобразуя второе, получаем:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)
Таким образом, уравнение \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) равносильно двум элементарным тригонометрическим:
\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)