Используя свойства степени, приведите неравенство
\(\displaystyle 3 \cdot 45^x-3 \cdot 27^x -28 \cdot 15^x - 28 \cdot 9^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0\)
к виду, содержащему только степени \(\displaystyle 3^x{\small }\) и \(\displaystyle 5^x{\small ,}\) и преобразуйте его.
\(\displaystyle {3 \cdot 45^x-3 \cdot 27^x -28 \cdot 15^x + 28 \cdot 9^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0}{\small .}\)
Переменная содержится только в показателях степеней с основаниями \(\displaystyle 3{\small ,} \,\, 5 {\small ,} \,\, 9 {\small ,} \,\, 27\) и \(\displaystyle 45{\small .}\)
Заметим, что:
- \(\displaystyle 9=3^2{\small ;} \, \,27=3^3{\small ;}\\\)
- \(\displaystyle 15=3 \cdot 5 {\small ,} \,\,45=9 \cdot 5=3^2 \cdot5 {\small .}\)
Представим основания степеней в виде степеней чисел \(\displaystyle 3 {\small ,} \,\, 5 {\small }\) или их произведений:
\(\displaystyle {3 \cdot (3^2 \cdot 5)^x-3 \cdot (3^3)^x -28 \cdot (3\cdot 5)^x + 28 \cdot (3^2)^x +9 \cdot 5^x-3^{x+2}\leqslant 0}{\small .}\)
Воспользуемся свойствами степени:
\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-3 \cdot 3^{3x} -28 \cdot 3^x \cdot 5^x +28 \cdot 3^{2x} +9 \cdot 5^x-9\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)
Заметим пары равных коэффициентов:
\(\displaystyle {\color{Blue}{3} \cdot 3^{2x} \cdot 5^x-\color{Blue}{3} \cdot 3^{3x} -\color{Magenta}{28} \cdot 3^x \cdot 5^x+\color{Magenta}{28} \cdot 3^{2x} +\color{Green}{9} \cdot 5^x-\color{Green}{9}\cdot3^{x} \leqslant 0}{\small .}\)
Сгруппируем слагаемые с равными коэффициентами и в каждой паре вынесем за скобку общий множитель:
\(\displaystyle {3 \cdot 3^{2x} (5^x- 3^{x}) -28\cdot3^x ( 5^x -3^{x} )+9 \cdot(5^x-3^{x} )\leqslant 0}{\small .}\)
Получили, что каждое слагаемое содержит общий множитель \(\displaystyle 5^x -3^{x} {\small .}\) Вынесем его за скобку.
Получим:
\(\displaystyle (5^x- 3^{x})({3 \cdot 3^{2x} -28\cdot3^x +9) \leqslant 0}{\small .}\)